常用导数公式

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    常用导数公式 1.y=c(c 为常数) y'=0 2.y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x 4.y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x 5.y=sinx y'=cosx 6.y=cosx y'=-sinx 7.y=tanx y'=1/cos^2x 8.y=cotx y'=-1/sin^2x 9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2 10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2 11.y=arctanx y'=1/1+x^2 12.y=arccotx y'=-1/1+x^2 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]?g'(x) 『f'[g(x)]中 g(x) 看作整个变量,而 g'(x)中把 x 看作变量』 2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^2

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    3.y=f(x)的反函数是 x=g(y) ,则有 y'=1/x' 证:1.显而易见,y=c 是一条平行于 x 轴的直线,所以处处的切线都 是平行于 x 的,故斜率为 0。

    用导数的定义做也是一样的:y=c, ⊿ y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

    2.这个的推导暂且不证, 因为如果根据导数的定义来推导的话就不能 推广到 n 为任意实数的一般情况。

    在得到 y=e^x y'=e^x 和 y=lnx y'=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

    3.y=a^x, ⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1) ⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x 如果直接令⊿x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数 β= a^ ⊿ x-1 通过换元进行计算。

    由设的辅助函数可以知道:⊿ x=loga(1+β)。

    所以(a^⊿x-1)/⊿x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 显然,当⊿x→0 时,β也是趋向于 0 的。

    而 limβ→0(1+β)^1/β =e,所以 limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

    把这个结果代入 lim⊿x→0⊿y/⊿x=lim⊿x→0a^x(a^⊿x-1)/⊿x 后得到 lim⊿x→0⊿y/⊿x=a^xlna。

    可以知道,当 a=e 时有 y=e^x y'=e^x。

    4.y=logax ⊿y=loga(x+⊿x)-logax=loga(x+⊿x)/x=loga[(1+⊿x/x)^x]/x ⊿y/⊿x=loga[(1+⊿x/x)^(x/⊿x)]/x

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    因为当⊿x→0 时,⊿x/x 趋向于 0 而 x/⊿x 趋向于∞,所以 lim⊿ x→0loga(1+⊿x/x)^(x/⊿x)=logae,所以有 lim⊿x→0⊿y/⊿x=logae/x。

    可以知道,当 a=e 时有 y=lnx y'=1/x。

    这时可以进行 y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。

    因为 y=x^n,所 以 y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以 y'=e^nlnx?(nlnx)'=x^n?n/x=nx^(n-1)。

    5.y=sinx ⊿y=sin(x+⊿x)-sinx=2cos(x+⊿x/2)sin(⊿x/2) ⊿ y/ ⊿ x=2cos(x+ ⊿ x/2)sin( ⊿ x/2)/ ⊿ x=cos(x+ ⊿ x/2)sin( ⊿ x/2)/(⊿x/2) 所 以 lim ⊿ x → 0 ⊿ y/ ⊿ x=lim ⊿ x → 0cos(x+ ⊿ x/2)?lim ⊿ x → 0sin(⊿x/2)/(⊿x/2)=cosx 6.类似地,可以导出 y=cosx y'=-sinx。

    7.y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+ sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8.y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2 x 9.y=arcsinx x=siny

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    x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10.y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11.y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12.y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^ 2 另 外 在 对 双 曲 函 数 shx,chx,thx 等 以 及 反 双 曲 函 数 arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导 数表和运用开头的公式与 4.y=u 土 v,y'=u'土 v'

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    5.y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。

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