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第一章 数和数的运算 一 概念 (一)整数 1 整数的意义 自然数和 0 都是整数。

2 自然数 我们在数物体的时候,用来表示物体个数的 1,2,3……叫做自然数。

一个物体也没有,用 0 表示。

0 也是自然数。

3 计数单位 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。

这样的计数法叫做十进制计数法。

4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。

5 数的整除 整数 a 除以整数 b(b ≠ 0),除得的商是整数而没有余数,我们就说 a 能被 b 整除,或者说 b 能整除 a 。

如果数 a 能被数 b(b ≠ 0)整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数(或 a 的因数)。

倍数和约数是相互依存的。

因为 35 能被 7 整除,所以 35 是 7 的倍数,7 是 35 的约数。

一个数的约数的个数是有限的,其中最小的约数是 1,最大的 约数是它本身。

例如:10 的 约数有 1、2、5、10,其中最小的约数是 1,最大的约数是 10。

一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身。

3 的倍数有:3、6、9、12…… 其中最小的倍数是 3 ,没有最大的倍数。

个位上是 0、2、4、6、8 的数,都能被 2 整除,例如:202、480、304,都能被 2 整除。

个位上是 0 或 5 的数,都能被 5 整除,例如:5、30、405 都能被 5 整除。

一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除,例如:12、108、204 都能被 3 整除。

一个数各位数上的和能被 9 整除,这个数就能被 9 整除。

能被 3 整除的数不一定能被 9 整除,但是能被 9 整除的数一定能被 3 整除。

一个数的末两位数能被 4(或 25)整除,这个数就能被 4(或 25)整除。

例如:16、404、1 256 都能被 4 整除,50、325、500、1675 都能被 25 整除。

一个数的末三位数能被 8(或 125)整除,这个数就能被 8(或 125)整除。

例如:1168、4 600、5000、12344 都能被 8 整除,1125、13375、5000 都能被 125 整除。

能被 2 整除的数叫做偶数。

不能被 2 整除的数叫做奇数。

0 也是偶数。

自然数按能否被 2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数,如果只有 1 和它本身两个约数,这样的数叫做质数(或素数),100 以内的质数有: 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、

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79、83、89、97。

一个数,如果除了 1 和它本身还有别的约数,这样的数叫做合数,例如 4、6、8、9、12 都 是合数。

1 不是质数也不是合数,自然数除了 1 外,不是质数就是合数。

如果把自然数按其约数的个 数的不同分类,可分为质数、合数和 1。

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。

其中每个质数都是这个合数的因数, 叫做这个合 数的质因数,例如 15=3× 5,3 和 5 叫做 15 的质因数。

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。

例如把 28 分解质因数 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数。

其中最大的一个, 叫做这几个数的最大公约数, 例如 12 的约数有 1、2、3、4、6、12;18 的约数有 1、2、3、6、9、18。

其中,1、2、3、 6 是 12 和 1 8 的公约数,6 是它们的最大公约数。

公约数只有 1 的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况: 1 和任何自然数互质。

相邻的两个自然数互质。

两个不同的质数互质。

当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质。

两个合数的公约数只有 1 时,这两个合数互质,如果几个数中任意两个都互质,就说这几个 数两两互质。

如果较小数是较大数的约数,那么较小数就是这两个数的最大公约数。

 如果两个数是互质数,它们的最大公约数就是 1。

几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数, 其中最小的一个, 叫做这几个数的最小公倍数, 如 2 的倍数有 2、4、6 、8、10、12、14、16、18 …… 3 的倍数有 3、6、9、12、15、18 …… 其中 6、12、18……是 2、3 的公倍数,6 是它们的 最小公倍数。

如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。

如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。

几个数的公约数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。

(二)小数 1 小数的意义 把整数 1 平均分成 10 份、100 份、1000 份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。

一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几…… 一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。

数中的圆点叫做小数点,小数点左边的 数叫做整数部分,小数点左边的数叫做整数部分,小数点右边的数叫做小数部分。

在小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是 10。

小数部分的最高分数单位“十分之一”

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和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是 10。

2 小数的分类 纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。

例如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。

带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。

例如: 3.25 、 5.26 都是带小数。

有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。

例如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。

无限小数: 小数部分的数位是无限的小数, 叫做无限小数。

例如:4.33 …… 3.1415926 …… 无限不循环小数:一个数的小数部分,数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不 循环小数。

例如:∏ 循环小数:一个数的小数部分,有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循 环小数。

例如: 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。

例如: 3.99 ……的循环节是“ 9 ” , 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。

纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。

例如: 3.111 …… 0.5 656 …… 混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。

3.1222 …… 0.033 33 …… 写循环小数的时候, 为了简便, 小数的循环部分只需写出一个循环节, 并在这个循环节的首、 末位数字上各点一个圆点。

如果循环 节只有 一个数字,就只在它的上面点一个点。

例如: 3.777 …… 简写作 0.5302302 …… 简写作 。

(三)分数 1 分数的意义 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。

在分数里,中间的横线叫做分数线;分数线下面的数,叫做分母,表示把单位“1”平均分成 多少份;分数线下面的数叫做分子,表示有这样的多少份。

把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。

2 分数的分类 真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。

真分数小于 1。

假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。

假分数大于或等于 1。

带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。

3 约分和通分 把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ,叫做约分。

分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。

把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。

(四)百分数 1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。

百分数通

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常用"%"来表示。

百分号是表示百分数的符号。

二 方法 (一)数的读法和写法 1. 整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。

读亿级、万级时,先按照个级的读法去读, 再在后面加一个“亿”或“万”字。

每一级末尾的 0 都不读出来,其它数位连续有几个 0 都只读 一个零。

2. 整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个 数位上写 0。

3. 小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分 从左向右顺次读出每一位数位上的数字。

4. 小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角, 小数部分顺次写出每一个数位上的数字。

5. 分数的读法:读分数时,先读分母再读“分之”然后读分子,分子和分母按照整数的读法 来读。

6. 分数的写法:先写分数线,再写分母,最后写分子,按照整数的写法来写。

7. 百分数的读法:读百分数时,先读百分之,再读百分号前面的数,读数时按照整数的读 法来读。

8. 百分数的写法:百分数通常不写成分数形式,而在原来的分子后面加上百分号“%”来表 示。

(二)数的改写 一个较大的多位数,为了读写方便,常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。

有时还可以 根据需要,省略这个数某一位后面的数,写成近似数。

1. 准确数:在实际生活中,为了计数的简便,可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位 的数。

改写后的数是原数的准确数。

例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 12543 0 万;改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿。

2. 近似数:根据实际需要,我们还可以把一个较大的数,省略某一位后面的尾数,用一个 近似数来表示。

例如: 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。

3. 四舍五入法:要省略的尾数的最高位上的数是 4 或者比 4 小,就把尾数去掉;如果尾数 的最高位上的数是 5 或者比 5 大,就把尾数舍去,并向它的前一位进 1。

例如:省略 34590 0 万后面的尾数约是 35 万。

省略 4725097420 亿后面的尾数约是 47 亿。

4. 大小比较 1. 比较整数大小:比较整数的大小,位数多的那个数就大,如果位数相同,就看最高位, 最高位上的数大,那个数就大;最高位上的数相同,就看下一位,哪一位上的数大那个数就 大。

2. 比较小数的大小:先看它们的整数部分,,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的, 十分位上的数大的那个数就大; 十分位上的数也相同的, 百分位上的数大的那个数就大…… 3. 比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数 大。

分数的分母和分子都不相同的,先通分,再比较两个数的大小。

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(三)数的互化 1. 小数化成分数:原来有几位小数,就在 1 的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小 数点作分子,能约分的要约分。

2. 分数化成小数:用分母去除分子。

能除尽的就化成有限小数,有的不能除尽,不能化成 有限小数的,一般保留三位小数。

3. 一个最简分数,如果分母中除了 2 和 5 以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成 有限小数;如果分母中含有 2 和 5 以外的质因数,这个分数就不能化成有限小数。

4. 小数化成百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。

5. 百分数化成小数: 把百分数化成小数, 只要把百分号去掉, 同时把小数点向左移动两位。

 6. 分数化成百分数:通常先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化 成百分数。

7. 百分数化成小数:先把百分数改写成分数,能约分的要约成最简分数。

(四)数的整除 1. 把一个合数分解质因数,通常用短除法。

先用能整除这个合数的质数去除,一直除到商 是质数为止,再把除数和商写成连乘的形式。

2. 求几个数的最大公约数的方法是:先用这几个数的公约数连续去除,一直除到所得的商 只有公约数 1 为止,然后把所有的除数连乘求积,这个积就是这几个数的的最大公约数 。

3. 求几个数的最小公倍数的方法是:先用这几个数(或其中的部分数)的公约数去除,一 直除到互质(或两两互质)为止,然后把所有的除数和商连乘求积,这个积就是这几个数的 最小公倍数。

4. 成为互质关系的两个数:1 和任何自然数互质 ; 相邻的两个自然数互质; 当合数不是 质数的倍数时, 这个合数和这个质数互质; 两个合数的公约数只有 1 时, 这两个合数互质。

(五) 约分和通分 约分的方法:用分子和分母的公约数(1 除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数 为止。

通分的方法: 先求出原来的几个分数分母的最小公倍数, 然后把各分数化成用这个最小公倍 数作分母的分数。

三 性质和规律 (一)商不变的规律 商不变的规律:在除法里,被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍,商不变。

(二)小数的性质 小数的性质:在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。

(三)小数点位置的移动引起小数大小的变化 1. 小数点向右移动一位,原来的数就扩大 10 倍;小数点向右移动两位,原来的数就扩大 1

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00 倍;小数点向右移动三位,原来的数就扩大 1000 倍…… 2. 小数点向左移动一位,原来的数就缩小 10 倍;小数点向左移动两位,原来的数就缩小 1 00 倍;小数点向左移动三位,原来的数就缩小 1000 倍…… 3. 小数点向左移或者向右移位数不够时,要用“0"补足位。

(四)分数的基本性质 分数的基本性质: 分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数 (零除外) 分数的大小不变。

, (五)分数与除法的关系 1. 被除数÷ 除数= 被除数/除数 2. 因为零不能作除数,所以分数的分母不能为零。

3. 被除数 相当于分子,除数相当于分母。

四 运算的意义 (一)整数四则运算 1 整数加法: 把两个数合并成一个数的运算叫做加法。

在加法里,相加的数叫做加数,加得的数叫做和。

加数是部分数,和是总数。

加数+加数=和 2 整数减法: 已知两个加数的和与其中的一个加数,求另一个加数的运算叫做减法。

在减法里, 已知的和叫做被减数, 已知的加数叫做减数, 未知的加数叫做差。

被减数是总数, 减数和差分别是部分数。

加法和减法互为逆运算。

3 整数乘法: 求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。

在乘法里,相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。

相同加数的和叫做积。

在乘法里,0 和任何数相乘都得 0. 一个因数× 一个因数 =积 4 整数除法: 已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算叫做除法。

1 和任何数相乘都的任何数。

一个因数=积÷ 另一个因数 一个加数=和-另一个加数 在除法里,已知的积叫做被除数,已知的一个因数叫做除数,所求的因数叫做商。

乘法和除法互为逆运算。

在除法里,0 不能做除数。

因为 0 和任何数相乘都得 0,所以任何一个数除以 0,均得不到 一个确定的商。

被除数÷ 除数=商 除数=被除数÷ 商 被除数=商× 除数 (二)小数四则运算 1. 小数加法: 小数加法的意义与整数加法的意义相同。

是把两个数合并成一个数的运算。

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