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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 I) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013 课标全国Ⅰ,理 1)已知集合 A={x|x -2x>0},B={x|- 5 <x< 5 },则( A.A∩B= B.A∪B=R C.B  A D.A  B 2.(2013 课标全国Ⅰ,理 2)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( ). 2 ). A.-4 C.4 3.(2013 课标全国Ⅰ,理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学 生进行,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力 情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ). A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 4. (2013 课标全国Ⅰ, 4)已知双曲线 C: 理 则 C 的渐近线方程为( ). 4  B. 5 4 D. 5 x2 y 2 5  2 =1 (a>0, >0)的离心率为 b , 2 2 a b 1  x A.y= 4 1  x B.y= 3 1  x C.y= 2 D.y=±x 5.(2013 课标全国Ⅰ,理 5)执行下面的程序框北京赛车pk10开奖直播,如果输入的 t∈[-1,3],则输出 的 s 属于( ). A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5] 6.(2013 课标全国Ⅰ,理 6)如北京赛车pk10开奖直播,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放 在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积 为( ). 500π A. 3 cm3 1372π C. 3 cm3 866π B. 3 cm3 2048π D. 3 cm3 ). 7. (2013 课标全国Ⅰ, 7)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, Sm-1=-2, m=0, m+1=3, m=( 理 若 S S 则 A.3 B.4 C.5 D.6 8.(2013 课标全国Ⅰ,理 8)某几何体的三视北京赛车pk10开奖直播如北京赛车pk10开奖直播所示,则该 几何体的体积为( ). A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第1页

9.(2013 课标全国Ⅰ,理 9)设 m 为正整数,(x+y) 展开式的二项式系数的最大值为 a,(x+y) 的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( ). A.5 B.6 C.7 D.8 10.(2013 课标全国Ⅰ,理 10)已知椭圆 E: 2m 2m+1 展开式 x2 y 2  =1 (a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E a 2 b2 ). 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x y  =1 A. 45 36 2 2 x y  =1 B. 36 27 2 2 x y  =1 C. 27 18   x 2  2 x,x  0, ln( x  1),x  0. 2 2 x2 y 2  =1 D. 18 9 若|f(x)|≥ax, a 的取值范围是( 则 ). 11. (2013 课标全国Ⅰ, 11)已知函数 f(x)=  理 A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 12.(2013 课标全国Ⅰ,理 12)设△AnBnCn 的三边长分别为 an,bn,cn,△AnBnCn 的面积为 Sn,n=1,2,3,…. 若 b1>c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= cn  an b  an ,cn+1= n ,则( 2 2 ). A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答.第(22)题~ 第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅰ,理 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b²c=0, 则 t=__________. 2 1 Sn  an  3 3, 14. (2013 课标全国Ⅰ, 14)若数列{an}的前 n 项和 理 则{an}的通项公式是 an=_______. 15.(2013 课标全国Ⅰ,理 15)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ = __________. 16. (2013 课标全国Ⅰ, 16)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的北京赛车pk10开奖直播像关于直线 x=-2 对称, f(x) 理 则 的最大值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅰ,理 17)(本小题满分 12 分)如北京赛车pk10开奖直播,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若 PB= 1 ,求 PA; 2 (2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA. 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第2页

18.(2013 课标全国Ⅰ,理 18)(本小题满分 12 分)如北京赛车pk10开奖直播,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1 =60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值. 19.(2013 课标全国Ⅰ,理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产 品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批 产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 1 ,且各件产品是否为优质品相 2 互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费 用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第3页

20.(2013 课标全国Ⅰ,理 20)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动 圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|. 2 2 2 2 21.(2013 课标全国Ⅰ,理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=x +ax+b,g(x)=e (cx+d).若曲线 y =f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. 2 x 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第4页

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡所选题号后的方框涂黑. 22.(2013 课标全国Ⅰ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如北京赛车pk10开奖直播,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 点 D. (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 23.(2013 课标全国Ⅰ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为   x  4  5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐  y  5  5sin t 标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第5页

24.(2013 课标全国Ⅰ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲:已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x +a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈    a 1 ,  时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围.  2 2 2013 全国新课标卷 1 理科数学 第6页

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